4.6 Estimador de Zelterman
Zelterman (1988) propuso estimar el tamaño poblacional en estudios de captura y recaptura usando un enfoque basado en el estimador de Horvitz–Thompson. El estimador se basa en que los datos siguen una distribución de Poisson truncada (es decir, cuando no se observan los ceros), y hay heterogeneidad en las probabilidades de ser capturado.
El objetivo es estimar \(p_0\) utilizando solamente los conteos de los individuos observados una vez, \(N_{1}=N_{12}+N_{21}\), y los que son observados exactamente dos veces, \(N_{2}=N_{11}\), de la distribución de conteos truncada en cero. El estimador del tamaño poblacional propuesto por Zelterman es:
\[ \hat{N}_{\text{Zel}} = \frac{\hat{N}_{11} + \hat{N}_{12} + \hat{N}_{21}}{1 - \exp\left(-\frac{2\hat{N}_{11}}{\hat{N}_{12} + \hat{N}_{21}}\right)} \]
y con aproximación de la varianza dada por:
\[ \hat{V}(\hat{N}_{\text{Zel}}) = \left( \frac{(\hat{N}_{11} + \hat{N}_{12} + \hat{N}_{21}) \cdot \exp(-\lambda)}{1 - \exp(-\lambda)} \right)^2 \cdot \left( \frac{4 \hat{N}_{11}^2}{(\hat{N}_{12} + \hat{N}_{21})^4} + \frac{2}{(\hat{N}_{12} + \hat{N}_{21})^2} \right) \]
donde
\[\lambda = \frac{2\hat{N}_{11}}{\hat{N}_{12} + \hat{N}_{21}}.\]
Brittain and Böhning (2009) presentaron una versión alternativa del estimador cuando se tienen dos fuentes. En este contexto, aplican el mismo método utilizado por Zelterman a la verosimilitud binomial mixta, con parámetro de tamaño 2, truncada en los ceros, dado que los casos que no aparecen en ninguna de las dos fuentes, y esto se incorpora en el estimador de Horvitz–Thompson para obtener el estimador de Zelterman del tamaño poblacional en el contexto binomial, que sería más apropiado en el contexto de una encuesta postcensal, y que puede expresarse como:
\[\hat{N}_{\text{Zel}} = \frac{\hat{N}_{11} + \hat{N}_{12} + \hat{N}_{21}} {1 - \left(\frac{\hat{N}_{12}+\hat{N}_{21}}{\hat{N}_{12}+\hat{N}_{21}+2\hat{N}_{11}}\right)^2}.\]