7.2 Diseño de la muestra
El diseño muestral de la operación estadística de la encuesta de cobertura debe ser probabilístico y estratificado por conglomerados. Para garantizar que sea probabilístico, se debe asegurar que todas las personas tengan una probabilidad conocida y mayor que cero de ser seleccionadas en la muestra de la PES.
Los estratos deben definirse con el objetivo de reducir la incertidumbre de las estimaciones y, al mismo tiempo, atender necesidades administrativas, como la entrega de información desagregada para algunos dominios geográficos específicos.
Dentro de cada estrato, las Unidades Primarias de Muestreo (UPM) se definen como segmentos cartográficos previamente establecidos en el marco del censo. Estos segmentos deben seleccionarse mediante un diseño de muestreo. Finalmente, en los segmentos seleccionados se debe levantar la información de todos los hogares y personas.
7.2.1 Marco de muestreo
Como en todo procedimiento de muestreo probabilístico, se requiere de un dispositivo que permita identificar y ubicar a todos y cada uno de las unidades pertenecientes a la población objetivo. Este dispositivo se conoce con el nombre de marco de muestreo.
Teniendo en cuenta que la metodología de Estimación por Sistema Dual se fundamenta en el supuesto de que la PES es una recolección independiente del censo. Por lo tanto, exige que la PES no esté influenciada por lo que ocurrió en el censo y debido a ello no se puede usar información auxiliar ni ningún resultado proveniente del censo.
En consecuencia, el marco de áreas (agregados cartográficos como segmentos censales, sectores censales o áreas de enumeración) que se utilice para la selección de las UPM debería ser el mismo que se utilizó para la planeación logística del censo. Lo anterior también implica que durante la recolección se deben seleccionar un equipo humano diferente al que participó en el censo.
7.2.2 Construcción de las UPM
La construcción de las Unidades Primarias de Muestreo (UPM) debe derivarse directamente de la definición establecida en el censo. Es fundamental que los segmentos cartográficos utilizados como UPM en la encuesta de postenumeración correspondan a los mismos bloques cartográficos definidos durante el censo, ya que esto asegura la coherencia espacial y administrativa entre ambos ejercicios. Tomar como referencia los mismos segmentos permite mantener la comparabilidad de los datos y facilita el control de cobertura de manera precisa.
Asimismo, el uso de los mismos bloques cartográficos es esencial para la indexación y el emparejamiento de los registros durante el proceso de análisis de la PES. Al contar con una correspondencia directa entre los segmentos del censo y los de la PES, se pueden identificar de manera eficiente los hogares y personas que fueron enumerados en ambas operaciones, garantizando así la validez de las estimaciones y la detección de posibles omisiones o duplicaciones en la información recolectada. Usar este enfoque contribuye a la calidad y confiabilidad de los resultados finales de la encuesta de cobertura.
7.2.3 Estratos
La estratificación en la encuesta de postenumeración se construye con base en dos objetivos principales.
El primero está relacionado con la eficiencia del diseño muestral, buscando asegurar una mayor precisión de las estimaciones. Para cumplir este objetivo, los estratos deben considerar áreas geográficas que puedan presentar diferentes niveles de cobertura. Por ejemplo, se pueden diferenciar áreas urbanas, centros poblados, zonas rurales dispersas o regiones con población étnica de difícil acceso, donde es más probable que las omisiones o errores de cobertura sean distintos respecto a otras áreas. Esta diferenciación permite diseñar la muestra de manera que se reduzca la incertidumbre de las estimaciones dentro de cada estrato, optimizando así la eficiencia del muestreo.
El segundo objetivo de la estratificación se vincula con la necesidad de obtener información desagregada para distintos dominios geográficos. En estos casos, se recomienda que dentro de cada estrato se aplique una subestratificación adicional, siguiendo los lineamientos previamente definidos, para garantizar que la muestra represente todos los subdominios de interés.
7.2.4 Diseño de muestreo
Con el marco de muestreo y la estratificación apropiada para las UPM, es necesario realizar el proceso de muestreo para la selección final de los hogares. Este proceso de selección debe inducir insesgamiento, además de ser eficiente. Esto quiere decir que la inclusión de las unidades en la muestra estará supeditada a un esquema probabilístico libre de cualquier sesgo. Además de esto, se necesita que este mecanismo genere la menor dispersión posible en el proceso inferencial posterior.
El procedimiento de muestreo le asigna una probabilidad de selección conocida a cada posible muestra. Al diseñar un muestreo probabilístico, el investigador es el encargado de asignar estas probabilidades, mediante la definición del diseño de muestreo (Särndal, Swensson, and Wretman 2003). Aunque esta asignación de probabilidades se realiza de manera teórica, el equipo técnico deberá establecer cuál es la mejor forma de selección, y sobre esta escoger el mejor algoritmo de muestreo. Luego de establecer este conjunto de probabilidades, una única muestra es escogida mediante un mecanismo aleatorio que siga a cabalidad esta configuración estocástica inducida por el diseño de muestreo.
Es fundamental que estas probabilidades sean distintas de cero, ya que de lo contrario no se podría garantizar una inferencia insesgada, al excluir segmentos cartográficos del país. Además, estas mismas probabilidades se utilizan para calcular los factores de expansión, que sostienen todo el proceso de estimación, así como para el cálculo de los errores de muestreo, asegurando la validez y precisión de las cifras derivadas de la encuesta.
Es importante diferenciar claramente entre el diseño de muestreo y el algoritmo de muestreo. El diseño de muestreo establece las probabilidad de selección tendrán las posibles muestras en el soporte de muestreo, definido como el conjunto de todas las posibles muestras. Por su parte, el algoritmo de muestreo se refiere al proceso de selección de una única muestra, respetando las probabilidades establecidas por el diseño.
En el caso de la PES, es fundamental definir ambos componentes de manera previa. Para ello, el equipo técnico debe documentar exhaustivamente cada etapa del muestreo, identificando las unidades de muestreo y estableciendo los correspondientes diseños para cada etapa. De igual manera, se debe explicar claramente qué algoritmos de selección se aplicarán en cada etapa, garantizando así transparencia en la selección de las unidades. De esta forma habrá total transparencia en la selección de las unidades y esto redunda en la obtención de cifras oficiales confiables y precisas.
Existen muchas formas de seleccionar una muestra y cada una de ellas induce una medida de probabilidad sobre los elementos que conforman la población de interés. En general, asociado a cada esquema particular de muestreo se define una única función que asocia a cada hogar \(k\) con una probabilidad de inclusión en la muestra \(s\), definida de la siguiente manera:
\[\pi_k = Pr (k \in s)\]
Si el diseño de muestreo es de tamaño fijo, estas probabilidades de inclusión de los hogares cumplirán con las siguientes propiedades
- \(\pi_k > 0\)
- \(\sum_U \pi_k = n\)
Observe que la primera propiedad garantiza que ningún hogar será excluido de la selección inicial. Si bien no todos los hogares serán seleccionados para pertenecer a la muestra \(s\), todos tendrán un chance de ser escogidos por el mecanismo de selección aleatorio. En segunda medida, el tamaño de la muestra de hogares estará inducido por la magnitud de las probabilidades de inclusión. Por esta razón, una encuesta con una tamaño de muestra grande asignará una mayor probabilidad de inclusión a todos los hogares, que una encuesta de tamaño de muestra más modesto.
7.2.5 Diseño de muestreo estándar
A continuación se describe de manera genérica cómo es un diseño de muestreo típico de una encuesta de cobertura. Por supuesto, en la práctica existen variantes que se pueden alejar un poco de esta generalización debido a las particularidades de cada país, aunque en general, mantienen la misma estructura.
Generalmente el muestreo es probabilístico estratificado de conglomerados:
- Se realiza una estratificación por zona: urbano/rural, por región, departamento o estado.
- De forma independiente, se seleccionan las unidades primarias de muestreo (UPM) definidas por segmentos cartográficos según el censo, siguiendo un diseño de muestreo proporcional al número de viviendas, hogares o personas del conglomerado.
- Dentro de cada UPM, se debe levantar el recuento del número de viviendas y proceder a visitarlas a todas para levantar la información de todos los hogares y personas.
Debido a que puede existir resistencia a responder debido a que el censo se realizó hace poco tiempo, es importante considerar registros para el control de la cobertura, para ello se recomienda codificar las novedades o incidencias de acuerdo con los códigos de disposición de AAPOR (Public Opinion Research 2016), en la cual las unidades de observación se codifican como ER para los elegibles respondientes, ENR para los elegibles que no responden o que rechazan la encuesta, NEC al grupo de no elegibles conocidos y ED a los elegibles desconocidos.
7.2.6 Cálculo del tamaño de muestra
El tamaño de la muestra se debe calcular para lograr un nivel de precisión requerido con un nivel de confianza. De manera que, es necesario definir los diferentes tipos de error muestral. En principio, se define un intervalo de confianza para el parámetro \(\theta\), inducido por su estimador insesgado \(\hat{\theta}\) (que se supone con distribución normal de media \(\theta\) y varianza \(Var(\hat{\theta})\), como
\[ IC(1-\alpha)=\left[\hat{\theta}-z_{1-\alpha / 2}\sqrt{ Var(\hat{\theta})},\hat{\theta}+z_{1-\alpha / 2}\sqrt{Var(\hat{\theta})}\right] \]
donde \(z_{1-\alpha / 2}\) se refiere al cuantil \((1-\alpha / 2)\) de una variable aleatoria con distribución normal estándar. Cuando el diseño de muestreo es complejo, es necesario reemplazar el percentil de la distribución normal estándar por el percentil de una distribución \(t-student\) con \(N_I - H\) grados de libertad, suponiendo que hay \(N_I\) unidades primarias de muestreo y \(H\) estratos. En este orden de ideas, nótese que
\[ 1-\alpha=\sum_{Q_0 \supset s}p(s), \]
donde \(Q_0\) es el conjunto de todas las posible muestras cuyo intervalo de confianza contiene al parámetro \(\theta\). Desde la expresión del intervalo de confianza, se define el margen de error, como aquella cantidad que se suma y se resta al estimador insesgado. En este caso, se define como
\[ ME = z_{1-\alpha / 2}\sqrt{ Var(\hat{\theta})} \]
Desde esta expresión también es posible definir el error estándar, dado por
\[ EE = \sqrt{ Var(\hat{\theta})} \]
Las anteriores medidas sólo tienen en cuenta la precisión del estimador. Una medida que tiene en cuenta la precisión y el sesgo del estimador es el margen de error relativo, que se define como
\[ MER = z_{1-\alpha / 2}\frac{\sqrt{ Var(\hat{\theta})}}{E(\hat{\theta})} \]
De la misma manera, también se define el coeficiente de variación o error estándar relativo definido por
\[ CV = \frac{\sqrt{ Var(\hat{\theta})}}{E(\hat{\theta})} \]
El tamaño de muestra dependerá del tipo de error que se quiera minimizar. Por ejemplo, el tamaño de muestra requerido para minimizar el margen de error, no será el mismo que el que se necesitará para minimizar el coeficiente de variación.
para determinar el tamaño de la muestra se deben considerar los efectos de la estratificación, las etapas y la aglomeración de las unidades de muestreo. Una forma sencilla de incorporar este efecto de aglomeración en las expresiones clásicas del muestreo aleatorio simple, es la relación de las varianzas en el efecto de diseño:
\[ DEFF(\hat{\theta})=\frac{Var_p(\hat{\theta})}{Var_{MAS}(\hat{\theta})} \]
Esta cifra da cuenta del efecto de aglomeración causado por la utilización de un diseño de muestreo cualquiera \((p)\), frente a un diseño de muestreo aleatorio simple (MAS) en la inferencia de un parámetro de la población finita \(\theta\) (que puede ser un total, una proporción, una razón, un coeficiente de regresión, etc.). Por lo anterior, es posible escribir la varianza del estimador bajo el diseño de muestreo complejo como
\[\begin{align} Var_p(\hat{\theta}) & = DEFF(\hat{\theta}) \ Var_{MAS}(\hat{\theta}) \\ & = DEFF(\hat{\theta}) \ \frac{N^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)S^2_{y_U} \end{align}\]
Por lo tanto, si al implementar un muestreo aleatorio simple el tamaño de muestra \(n_0\) es suficiente para conseguir la precisión deseada, entonces el valor del tamaño de muestra que tendrá en cuenta el efecto de aglomeración para un diseño complejo estará cercano a \(n \approx n_0 \times DEFF\). Por ende, un efecto de diseño DEFF = 2.0 implicaría que se deberían seleccionar casi el doble de unidades para lograr la misma confiabilidad que la producida por una muestra aleatoria simple.
En particular, para el caso de una proporción, la calidad del estimador se puede medir en términos de la amplitud del intervalo de confianza de al menos \((1-\alpha) \times 100\%\); esto es, la distancia entre el estimador y el parámetro no debería superar un margen de error previamente establecido (\(ME\)). Así:
\[ 1-\alpha \geq \Pr\left(|\hat{P}-P|<ME\right) \]
Por ejemplo, el estimador de Horvitz-Thompson de la proporción \(\hat{P}\) es insesgado para \(P\) y su distribución asintótica es gausiana con varianza dada por
\[ Var\left(\hat{P}\right)=DEFF\frac{1}{n}(1-\frac{n}{N})P(1-P) \]
Al despejar el tamaño muestral \(n\) de la anterior expresión, se tiene que
\[ n\geq\frac{P(1-P)}{\frac{ME^2}{DEFF \ z_{1-\alpha/2}^2}+\frac{P(1-P)}{N}} \]
De la misma manera, si el interés recae en la estimación de un promedio \(\bar{y}_U\), el tamaño de muestra necesario para que la amplitud relativa del intervalo de confianza no supre un margen de error relativo previamente establecido (\(MER\)) es de
\[ n \geq \dfrac{S^2_{y_U}DEFF}{\dfrac{MER^2 \bar{y}_U^2}{z_{1-\alpha/2}^2}+\dfrac{S^2_{y_U}DEFF}{N}} \]
Por consiguiente, se evidencia que valores grandes del efecto de diseño inducirán un mayor tamaño de muestra. Claramente el incremento no es lineal, más aún, el tamaño de muestre se ve más afectado en la medida en que el \(DEFF\) sea más grande.
En el caso de la PES, el interés se centra en tener una muuestra suficiente de hogares. Para ello, es necesario establecer
El número promedio de hogares. El número promedio de hogares que se espera encuestar en cada una de las UPM está dado por \(\bar{n}_{II}\), en donde \(n_{II}\) es el número de hogares en la muestra de la segunda etapa \(s_{II}\).
Calcular el efecto de diseño. Es necesario definir (o calcular con encuestas o censos anteriores) la correlación intraclase de la variable de interés con el agrupamiento por UPM \(\rho_y\). Luego de esto, se debe calcular el efecto de diseño \(DEFF\) como función de \(\rho_y\) y de \(\bar{n}_{II}\); esto es \(DEFF \approx 1 + (\bar{n}_{II} - 1)\rho_y\).
Tamaño de muestra mínimo de hogares. Partiendo de las expresiones de tamaño de muestra generales para muestreos complejos y teniendo en cuenta que la población de interés son los hogares, entonces el tamaño de muestra necesario para alcanzar un margen de error relativo máximo de \(MER\) % es de
\[ n_{II} \geq \dfrac{S^2_{y}DEFF}{\dfrac{MER^2 \bar{y}^2}{z_{1-\alpha/2}^2}+\dfrac{S^2_{y_U}DEFF}{N_{II}}} \]
La expresión apropiada para calcular el tamaño de muestra para una proporción estará dada por \[ n_{II} \geq \dfrac{P\ (1-P)\ DEFF}{\dfrac{MER^2P^2}{z_{1-\alpha/2}^2}+\dfrac{P\ (1-P) \ DEFF}{N_{II}}} \]
- Cálculo del número de UPM. Los hogares se observan a partir de las UPM. En este paso final es necesario calcular el número de UPM que deben ser seleccionadas en el muestreo a partir de la relación \[ n_{I} = \frac{n_{II}}{\bar{n}_{II}} \]