[1] 0.8[1] 0.2E[X] = 0.8
Var(X) = 0.16Estadística Fundamental para Ciencias de la Salud
Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Giovany Babativa-Márquez, PhD
VARIABLES ALEATORIAS
¿Qué es una Variable Aleatoria?
Definición formal
Una variable aleatoria \(X\) es una función que asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio:
\[X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}\]
Tip
Cuando realizamos un examen clínico, el resultado es incierto antes de hacerlo. La variable aleatoria es el mecanismo que convierte ese resultado en un número con el que podemos operar matemáticamente.
Ejemplos en Ciencias de la Salud
| Experimento | Variable aleatoria \(X\) | Valores posibles |
|---|---|---|
| Tomar la presión arterial | Presión sistólica (mmHg) | \([0, +\infty)\) |
| Revisar una sala de urgencias | Número de pacientes | \(0, 1, 2, \ldots\) |
| Aplicar un tratamiento | Tiempo de recuperación (días) | \((0, +\infty)\) |
| Realizar prueba diagnóstica | Resultado (positivo/negativo) | \(\{0, 1\}\) |
| Controlar UCI en un turno | Camas ocupadas | \(0, 1, \ldots, n\) |
Tipos de Variables Aleatorias
Discreta
Toma valores contables (finitos o infinito numerable):
\[X \in \{x_1, x_2, x_3, \ldots\}\]
Ejemplos clínicos:
- Número de pacientes con fiebre en una sala
- Número de medicamentos administrados
- Conteo de eventos adversos por turno
Continua
Toma valores en un intervalo de \(\mathbb{R}\) (infinito no numerable):
\[X \in (a, b) \subseteq \mathbb{R}\]
Ejemplos clínicos:
- Presión arterial (mmHg)
- Temperatura corporal (°C)
- Peso del paciente (kg)
- Tiempo hasta el alta (horas)
Función de Distribución Acumulada (FDA)
Definición
Para cualquier variable aleatoria \(X\) (discreta o continua), la función de distribución acumulada es:
\[\boxed{F(x) = P(X \leq x), \quad x \in \mathbb{R}}\]
Propiedades
- \(0 \leq F(x) \leq 1\) para todo \(x\)
- \(F\) es no decreciente: si \(a < b\) entonces \(F(a) \leq F(b)\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) y \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\)
- \(P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)\)
VARIABLES DISCRETAS
Función de Probabilidad Puntual (FPP)
Definición
Para una variable aleatoria discreta \(X\), la función de probabilidad puntual se define como:
\[\boxed{p(x) = P(X = x)}\]
Propiedades
- \(p(x) \geq 0\), \(\forall x\)
- \(\displaystyle\sum_{x} p(x) = 1\)
- \(P(X \in A) = \displaystyle\sum_{x \in A} p(x)\)
Ejemplo: Eventos adversos por turno
En una unidad de hospitalización se registra el número de eventos adversos leves \(X\) durante un turno de 8 horas:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | 0.30 | 0.35 | 0.20 | 0.10 | 0.05 |
Verificación:
\[\sum p(x) = 0.30 + 0.35 + 0.20 + 0.10 + 0.05 = 1 \checkmark\]
Cálculo de probabilidades
Con la distribución de eventos adversos:
\[P(X \geq 2) = p(2) + p(3) + p(4) = 0.20 + 0.10 + 0.05 = \mathbf{0.35}\]
\[P(1 \leq X \leq 3) = p(1) + p(2) + p(3) = 0.35 + 0.20 + 0.10 = \mathbf{0.65}\]
\[P(X < 2) = p(0) + p(1) = 0.30 + 0.35 = \mathbf{0.65}\]
Representación gráfica de la FPP
VARIABLES CONTINUAS
Función de Densidad de Probabilidad (FDP)
Definición
Para una variable aleatoria continua \(X\), la función de densidad de probabilidad \(f(x)\) satisface:
\[\boxed{P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx}\]
Propiedades
- \(f(x) \geq 0\) para todo \(x\)
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = 1\)
- Importante: \(P(X = x) = 0\) para cualquier valor puntual
- \(P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)\)
Interpretación gráfica
Ejemplo: Tiempo de recuperación post-cirugía
El tiempo de recuperación \(X\) (en días) tras una cirugía de rodilla sigue una distribución con densidad:
\[f(x) = \frac{1}{5} e^{-x/5}, \quad x > 0\]
¿Cuál es la probabilidad de recuperarse en menos de 3 días?
\[P(X < 3) = \int_0^3 \frac{1}{5} e^{-x/5}\, dx = 1 - e^{-3/5} \approx 0.451\]
¿Y entre 5 y 10 días?
\[P(5 < X < 10) = e^{-1} - e^{-2} \approx 0.368 - 0.135 = 0.233\]
VALOR ESPERADO
Definición: Valor Esperado
El valor esperado (o media) de una variable aleatoria \(X\) mide su valor promedio en el largo plazo.
Variable discreta
\[\boxed{E[X] = \sum_{x} x \cdot p(x)}\]
Variable continua
\[\boxed{E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x)\, dx}\]
Interpretación clínica: Si observamos el mismo proceso clínico muchas veces, \(E[X]\) es el promedio de los resultados que obtendríamos.
Ejemplo: Eventos adversos
Retomando la distribución de eventos adversos por turno:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | 0.30 | 0.35 | 0.20 | 0.10 | 0.05 |
\[E[X] = 0(0.30) + 1(0.35) + 2(0.20) + 3(0.10) + 4(0.05)\]
\[E[X] = 0 + 0.35 + 0.40 + 0.30 + 0.20 = \mathbf{1.25}\]
Interpretación: En promedio se producen 1.25 eventos adversos leves por turno de 8 horas en esta unidad.
Propiedades del Valor Esperado
Sea \(X\), \(Y\) variables aleatorias y \(a\), \(b\) constantes:
- \(E[a] = a\)
- \(E[aX] = a \cdot E[X]\)
- \(E[X + b] = E[X] + b\)
- Linealidad: \(E[aX + b] = a \cdot E[X] + b\)
- Aditividad: \(E[X + Y] = E[X] + E[Y]\) (siempre)
- Si \(X\) e \(Y\) son independientes: \(E[XY] = E[X] \cdot E[Y]\)
Aplicación clínica: Transformación de escala
La frecuencia cardíaca de un paciente en reposo tiene \(E[FC] = 72\) lpm.
Si medimos en otra unidad: \(FC^* = 0.5 \cdot FC + 10\) (escala relativa):
\[E[FC^*] = 0.5 \cdot E[FC] + 10 = 0.5 \cdot 72 + 10 = \mathbf{46}\]
Si registramos la suma de frecuencias cardíacas de 3 pacientes:
\[E[FC_1 + FC_2 + FC_3] = E[FC_1] + E[FC_2] + E[FC_3] = 72 + 72 + 72 = \mathbf{216}\]
VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Definición: Varianza
La varianza mide la dispersión de \(X\) alrededor de su media \(\mu = E[X]\):
\[\boxed{Var(X) = E\left[(X - \mu)^2\right]}\]
Fórmula de cálculo (equivalente y más práctica)
\[\boxed{Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2}\]
Desviación estándar
\[\sigma_X = \sqrt{Var(X)}\]
La desviación estándar tiene las mismas unidades que \(X\), lo que facilita su interpretación clínica.
Ejemplo: Varianza de eventos adversos
| \(x\) | \(p(x)\) | \(x^2\) | \(x^2 \cdot p(x)\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.30 | 0 | 0.000 |
| 1 | 0.35 | 1 | 0.350 |
| 2 | 0.20 | 4 | 0.800 |
| 3 | 0.10 | 9 | 0.900 |
| 4 | 0.05 | 16 | 0.800 |
\[E[X^2] = 2.850 \quad \Rightarrow \quad Var(X) = 2.850 - (1.25)^2 = 2.850 - 1.5625 = \mathbf{1.2875}\]
\[\sigma_X = \sqrt{1.2875} \approx \mathbf{1.13} \text{ eventos adversos}\]
Propiedades de la Varianza
Sean \(X\), \(Y\) variables aleatorias, \(a\), \(b\) constantes:
- \(Var(b) = 0\)
- \(Var(X + b) = Var(X)\)
- \(Var(aX) = a^2 \cdot Var(X)\)
- Lineal: \(Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)\)
- Si \(X\) e \(Y\) son independientes: \[Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)\]
Nota: En general, \(Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2\,Cov(X,Y)\)
COVARIANZA Y CORRELACIÓN
Definición: Covarianza
La covarianza mide la relación lineal entre dos variables aleatorias \(X\) e \(Y\):
\[\boxed{Cov(X,Y) = E\left[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)\right] = E[XY] - E[X]\cdot E[Y]}\]
| Valor de \(Cov(X,Y)\) | Interpretación |
|---|---|
| \(> 0\) | Cuando \(X\) aumenta, \(Y\) tiende a aumentar |
| \(< 0\) | Cuando \(X\) aumenta, \(Y\) tiende a disminuir |
| \(= 0\) | No hay relación lineal (puede haber relación no lineal) |
Correlación de Pearson
La covarianza depende de las unidades. El coeficiente de correlación estandariza:
\[\boxed{\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}, \quad -1 \leq \rho \leq 1}\]
| \(\rho\) | Interpretación |
|---|---|
| \(\approx 1\) | Relación lineal positiva fuerte |
| \(\approx -1\) | Relación lineal negativa fuerte |
| \(\approx 0\) | Sin relación lineal |
Ejemplo clínico: IMC y Presión Arterial
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Distribución Bernoulli
Definición
Una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución Bernoulli con parámetro \(p\) si el experimento tiene exactamente dos resultados posibles: éxito (\(X=1\)) o fracaso (\(X=0\)):
\[X \sim \text{Ber}(p)\]
Función de probabilidad
\[p(x) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x \in \{0, 1\}\]
| Fracaso (\(X=0\)) | Éxito (\(X=1\)) | |
|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(1-p\) | \(p\) |
Parámetros
\[E[X] = p \qquad Var(X) = p(1-p)\]
Ejemplos en Ciencias de la Salud
- Un paciente responde (\(X=1\)) o no responde (\(X=0\)) a un antibiótico, con \(p = 0.80\)
- Un recién nacido presenta un APGAR bajo (\(X=1\)), con \(p = 0.05\)
- Una prueba diagnóstica resulta positiva (\(X=1\)), con \(p\) igual a la sensibilidad
- Un paciente desarrolla úlcera de presión (\(X=1\)) en su estancia, con \(p = 0.12\)
Código R: Distribución Bernoulli
En R, la Bernoulli es un caso especial de la Binomial con size = 1:
Distribución Binomial
Definición
Si se realizan \(n\) ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito \(p\), la variable aleatoria \(X\) = número de éxitos sigue una distribución Binomial:
\[X \sim \text{Bin}(n, p)\]
Función de probabilidad
\[\boxed{p(x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots, n}\]
Parámetros
\[\boxed{E[X] = np \qquad Var(X) = np(1-p)}\]
Condiciones de aplicación
- \(n\) ensayos fijos e independientes
- Cada ensayo tiene solo dos resultados (éxito / fracaso)
- La probabilidad de éxito \(p\) es constante en cada ensayo
Ejemplo clínico
De 15 pacientes con neumonía bacteriana tratados con un antibiótico específico, cada uno tiene probabilidad de responder de \(p = 0.75\), independientemente de los demás. Sea \(X\) el número de pacientes que responden.
\[X \sim \text{Bin}(15,\; 0.75)\]
Cálculo manual
\[P(X = 12) = \binom{15}{12}(0.75)^{12}(0.25)^3 = 455 \cdot (0.75)^{12} \cdot (0.25)^3 \approx 0.225\]
\[E[X] = 15 \times 0.75 = 11.25 \text{ pacientes}\]
\[\sigma_X = \sqrt{15 \times 0.75 \times 0.25} = \sqrt{2.8125} \approx 1.68 \text{ pacientes}\]
Código R: Distribución Binomial
[1] 0.2251991[1] 0.3135141[1] 0.2360878[1] 13Visualización: Distribución Binomial
Distribución Hipergeométrica
Definición
Describe el número de éxitos al extraer \(n\) elementos sin reposición de una población finita de \(N\) elementos, de los cuales \(K\) son del tipo de interés.
\[X \sim \text{Hiper}(N, K, n)\]
Función de probabilidad
\[\boxed{p(x) = \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad x = \max(0, n+K-N), \ldots, \min(n, K)}\]
Parámetros
\[E[X] = n \cdot \frac{K}{N} \qquad Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}\]
El factor \(\dfrac{N-n}{N-1}\) se llama factor de corrección por población finita y refleja que al no haber reposición, la varianza es menor que en la Binomial.
Ejemplo clínico: Selección de pacientes para estudio
Una sala de rehabilitación tiene 20 pacientes, de los cuales 8 tienen diagnóstico de diabetes. Se seleccionan al azar 6 pacientes para participar en un programa piloto.
Sea \(X\) = número de pacientes diabéticos seleccionados.
\[X \sim \text{Hiper}(N=20,\; K=8,\; n=6)\]
\[P(X = 2) = \frac{\binom{8}{2}\binom{12}{4}}{\binom{20}{6}} = \frac{28 \times 495}{38760} \approx 0.357\]
\[E[X] = 6 \cdot \frac{8}{20} = 2.4 \quad \text{pacientes diabéticos esperados}\]
Código R: Distribución Hipergeométrica
[1] 0.3575851[1] 0.8627451[1] 0.1372549[1] 2.4Distribución de Poisson
Definición
Modela el número de eventos raros o poco frecuentes que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio determinado, cuando los eventos ocurren a tasa constante e independientemente entre sí.
\[X \sim \text{Poisson}(\lambda)\]
Función de probabilidad
\[\boxed{p(x) = \frac{e^{-\lambda}\, \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots}\]
Parámetros
\[\boxed{E[X] = \lambda \qquad Var(X) = \lambda}\]
Una característica única: media = varianza = \(\lambda\).
Condiciones de aplicación en salud
- Número de ingresos a urgencias por hora
- Número de infecciones nosocomiales por semana
- Casos de una enfermedad rara en una población por año
- Número de caídas de pacientes en una unidad por mes
- Llamadas al servicio de emergencias por noche
Ejemplo: Ingresos a urgencias
En un hospital, el promedio de pacientes que ingresan a urgencias es de \(\lambda = 4\) pacientes por hora. Sea \(X\) el número de ingresos en una hora.
\[X \sim \text{Poisson}(4)\]
\[P(X = 6) = \frac{e^{-4} \cdot 4^6}{6!} = \frac{0.0183 \times 4096}{720} \approx 0.104\]
\[P(X \leq 2) = \sum_{x=0}^{2} \frac{e^{-4} \cdot 4^x}{x!} = e^{-4}(1 + 4 + 8) = 0.238\]
Código R: Distribución de Poisson
[1] 0.1041956[1] 0.2381033[1] 0.110674[1] 8Visualización: Comparación de distribuciones Poisson
DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Distribución Normal
Definición
La distribución Normal (o gaussiana) es la distribución continua más importante en estadística. Una variable \(X\) sigue una distribución Normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\):
\[X \sim N(\mu, \sigma^2)\]
Función de densidad
\[\boxed{f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x \in \mathbb{R}}\]
Propiedades de la Distribución Normal
- Simétrica respecto a \(\mu\)
- Unimodal con moda = mediana = \(\mu\)
- La curva es asintótica al eje X
- \(E[X] = \mu\), \(Var(X) = \sigma^2\)
- El parámetro \(\sigma\) controla la dispersión
Regla 68 — 95 — 99.7
\[P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.68 \qquad P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.95\]
Ejemplo: Presión Arterial Sistólica
La presión arterial sistólica (PAS) en adultos sanos sigue una distribución aproximadamente normal:
\[PAS \sim N(120,\; 15^2) \text{ mmHg}\]
¿Qué proporción de adultos tiene PAS entre 105 y 135 mmHg?
\[P(105 \leq PAS \leq 135) = P(120 - 15 \leq PAS \leq 120 + 15) \approx 0.68\]
¿Cuál es la probabilidad de que un adulto sea hipertenso (PAS > 140)?
\[P(PAS > 140) = 1 - P(PAS \leq 140)\]
Usaremos pnorm en R para calcularlo.
Código R: Distribución Normal
[1] 0.7475075[1] 0.09121122[1] 0.6826895[1] 144.6728Distribución Normal Estándar
Estandarización
Si \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), la variable estandarizada sigue una Normal Estándar:
\[\boxed{Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)}\]
La estandarización permite comparar valores de diferentes escalas y usar una única tabla (o función R).
Propiedades de \(Z \sim N(0,1)\)
- \(E[Z] = 0\), \(Var(Z) = 1\)
- \(f(z) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}\)
- Simétrica: \(P(Z \leq -z) = P(Z \geq z) = 1 - \Phi(z)\)
Cuantiles y Percentiles
La función \(\Phi(z) = P(Z \leq z)\) se implementa con pnorm en R.
Código R: Normal Estándar y Estandarización
[1] 0.9500042Z = 1.667
P(PAS > 145) = P(Z > 1.667 ) = 0.0478
IC 95%: [ 90.6 , 149.4 ] mmHgEjemplo completo: Glucemia en ayunas
Código R del ejemplo glucemia
[1] 0.04151822[1] 112.6243[1] 0.038GRACIAS!
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Babativa-Márquez, J.G. Diapositivas del curso de Estadística Fundamental para Ciencias de la Salud. URL: https://jgbabativam.github.io/EstadFundSalud/
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