Experimento aleatorio

Espacio Muestral

Definición

El espacio muestral, denotado por \(\Omega\), es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Los elementos son los posibles resultados \(\omega\), de tal forma que:

\[ \Omega = \{\omega : \omega \text{ es un resultado posible del experimento}\} \]

Espacio Muestral

Clasificación según el tipo de resultados

1️⃣ Espacios muestrales discretos

Conjunto de resultados finito o infinito numerable.

\[ \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots \} \]

2️⃣ Espacios muestrales continuos

Conjunto de resultados infinito no numerable, generalmente asociado a intervalos de números reales.

\[ \Omega \subseteq \mathbb{R} \]

Ejemplos

🎲 Experimento 1: Lanzar un dado

Ejemplos

🚗 Experimento 2: Conteo de accidentes en carreteras en un periodo

\[ \Omega_2 = \{0,1,2,3,\dots\} \]

Tipo: Infinito numerable (discreto)

σ-álgebra y eventos

Definición

Eventos

Los elementos de la σ-álgebra \(\mathcal{F}\) se denominan eventos.

Así, un evento es un subconjunto del espacio muestral:

\[A \subseteq \Omega, \quad A \in \mathcal{F}\]

Probabilidad como frecuencia relativa

La probabilidad de un evento puede interpretarse como la frecuencia relativa de ocurrencia en un gran número de repeticiones del experimento.

Si un experimento se repite \(n\) veces y el evento \(A\) ocurre \(n_A\) veces, entonces:

\[fr(A) = \frac{n_A}{n}\]

Conceptos Básicos de Conjuntos

1. Conjunto Complemento (\(A^c\) o \(A'\))

Ejemplo: Si \(A\) es el evento “el paciente presenta hipertensión”, \(A^c\) es el evento “el paciente no presenta hipertensión”.

2. Intersección de Eventos (\(A \cap B\))

Ejemplo: Si \(A\) es “paciente con diabetes” y \(B\) es “paciente con obesidad”, \(A \cap B\) son los pacientes que padecen ambas condiciones.

3. Eventos Mutuamente Excluyentes

Ejemplo: Un test diagnóstico rápido cuyo resultado es “Positivo” o “Negativo”. No puede ser ambos simultáneamente.

4. Unión de Eventos (A∪B)

Ejemplo: Pacientes que requieren derivación a “Servicio de Fisioterapia” (A) O a “Servicio de Traumatología” (B).

Ejemplo

Se están analizando a 36 pacientes que ingresaron este mes a la unidad de cuidados intensivos, los cuales pueden presentar tres condiciones de salud, estos son pacientes con:

• Evento A: Artrosis severa (limitación mecánica).
• Evento B: Hipertensión arterial (riesgo cardiovascular).
• Evento C: Deterioro cognitivo leve (riesgo de caídas/desorientación).

Los pacientes se han clasificado de acuerdo con las condiciones que presentan:

Encuentre: \(A \cap B\), \(B \cap C\), \(A \cup C\), \(B^c \cap A\), \(A \cap B \cap C\), \(B^c \cap A\), \((A \cup B) \cap C^c\)

Espacio de Probabilidad

Un espacio de probabilidad es la tripleta: \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)

donde:

• \(\Omega\): espacio muestral
  
• \(\mathcal{F}\): σ-álgebra de eventos
  
• \(P\): medida de probabilidad

Axiomas de la medida de probabilidad

La función \(P : \mathcal{F} \to [0,1]\) satisface:

• \(P(A) \ge 0 \quad \forall A \in \mathcal{F}\)
• \(P(\Omega) = 1\)
• Si \(A_1, A_2, A_3, \dots \in \mathcal{F}\) son eventos mutuamente excluyentes:

\[P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)\] Por tanto,

\[0 \le P(A) \le 1\]

Propiedades de un espacio de probabilidad

Sea \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) un espacio de probabilidad y \(A, B \in \mathcal{F}\).

• \(P(\varnothing) = 0\)
• \(P(A^c) = 1 - P(A)\)
• Si \(A \subseteq B\), entonces: \(P(A) \le P(B)\)
• \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

Ejemplos

🧪 Ejemplo 1: Resultado de una prueba diagnóstica

Sea:

• \(A\): paciente tiene la enfermedad
  
• \(B\): prueba positiva

Probabilidad de interés: \(P(B)\)

Proporción de pacientes con resultado positivo.

💊 Ejemplo 2: Respuesta a tratamiento

Si en un ensayo clínico:

• 80 de 100 pacientes mejoran

\[P(\text{mejoría}) = \frac{80}{100} = 0.8\]

❤️ Ejemplo 3: Factores de riesgo

Sea:

• \(A\): paciente fuma
  
• \(B\): paciente tiene enfermedad cardiovascular

Probabilidad conjunta: \(P(A \cap B)\)

Pacientes que fuman y tienen enfermedad.

🏥 Ejemplo 4: Regla del complemento

Si la probabilidad de complicación quirúrgica es: \(P(C) = 0.1\)

Entonces la probabilidad de que no se tengan complicaciones es: \[P(C^c) = 1 - P(C) = 0.9\]

Teorema fundamental del conteo

Si un experimento se puede realizar en \(k\) etapas, y cada una se puede hacer de \(n_i\) formas diferentes, enonces el experimento completo se puede realizar de

\[n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k\]

formas distintas. Esto se conoce como regla de la multiplicación.

Ejemplo

Un fisioterapeuta puede elegir:

• 3 tipos de terapia
• 2 tipos de vendaje
• 4 ejercicios de rehabilitación

¿Cuántos planes de tratamiento diferentes puede diseñar?

Regla de la multiplicación

Se usa cuando:

• un proceso ocurre paso a paso
• en cada paso hay varias opciones
• queremos contar todas las combinaciones posibles

Ejemplo: Debe asignar

• 5 enfermeros a turno mañana
• 4 enfermeros a turno tarde

¿De formas de elegir los enfermeros para coordinar ambos turnos?

Permutaciones

Se usan cuando el orden importa

Ejemplos donde el orden importa:

• orden de atención de pacientes
• orden de llegada en una carrera
• orden de presentación de casos clínicos

Fórmula de permutaciones

Número de formas de ordenar n objetos:

\[n!\]

donde

\[n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1\] Ejemplo: En una clínica hay 4 pacientes esperando fisioterapia. ¿De cuántas formas distintas pueden ser atendidos?

Combinatorias

Se usan cuando el orden NO importa

Ejemplos:

• elegir pacientes para un estudio clínico
• seleccionar medicamentos para un protocolo
• elegir miembros de un equipo médico

Ejemplo

De 8 enfermeros se deben seleccionar 3 para un comité de calidad. ¿Cuántos comités diferentes son posibles?

¿Cómo saber cuál usar?

Ejemplos:

• Orden de atención → Permutación
• Selección de pacientes → Combinatoria
• Elección de terapia + ejercicio → Multiplicación

Ejercicios

1. Un plan de rehabilitación incluye: 4 tipos de terapia, 3 ejercicios y 2 tipos de vendaje. ¿Cuántos planes diferentes pueden diseñarse?

2. En una sala hay 5 pacientes esperando atención. ¿De cuántas formas distintas pueden ser atendidos?

3. De 10 enfermeros, se deben elegir 4 para un equipo de investigación. ¿Cuántos equipos diferentes pueden formarse?

4. En fisioterapia hay 6 ejercicios disponibles. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 2 ejercicios para una sesión?

5. Tres pacientes deben realizar pruebas en 3 equipos diferentes. ¿De cuántas maneras pueden asignarse?

El problema de Monty Hall

Imagina que participas en un concurso de televisión. Se te presentan tres puertas:

Eliges la Puerta 1. El presentador, que sabe dónde está el auto, abre otra puerta y muestra una cabra.

¿Cambiarías a la otra puerta que quedó cerrada?

Escenarios posibles

Supongamos que siempre eliges la Puerta 1 y el presentador siempre abre una puerta con cabra

Cambiar duplica la probabilidad de ganar

\[P(\text{ganar} \mid \text{cambia de puerta}) = \frac{2}{3} \approx \mathbf{66.6\%}\]

\[P(\text{ganar} \mid \text{no cambiar de puerta}) = \frac{1}{3} \approx \mathbf{33.3\%}\]

💡 El presentador no actúa aleatoriamente: siempre muestra una cabra. Esto transfiere probabilidad a la otra puerta y es la esencia de la probabilidad condicional.

Definición: Probabilidad condicional

Sea \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) un espacio de probabilidad y \(A, B \in \mathcal{F}\) con \(P(B) > 0\).

La probabilidad condicional de \(A\) dado \(B\) se define como:

\[\boxed{P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\]

Visualización: Probabilidad condicional

Corolario: Regla del producto

De la definición de probabilidad condicional se obtiene directamente la regla del producto:

\[P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B)\]

Eventos independientes

Definición

Dos eventos \(A\) y \(B\) se denominan independientes si el hecho de que \(B\) ocurra no modifica la probabilidad de \(A\):

\[P(A \mid B) = P(A)\]

Ejemplo 1: Sensibilidad y Especificidad

En un programa de tamizaje se aplica una prueba diagnóstica para detectar diabetes tipo 2:

Interpretación de los resultados

Recuerda que: \[P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)\]

Ejemplo 2: Factores de riesgo cardiovascular

En un estudio sobre enfermedad cardiovascular (ECV) en adultos:

• \(F\): paciente es fumador → \(P(F) = 0.28\)
• \(H\): paciente tiene hipertensión → \(P(H) = 0.34\)
• \(ECV\): diagnóstico de enfermedad cardiovascular

Probabilidades condicionales conocidas:

\[P(ECV \mid F \cap H) = 0.45\] \[P(ECV \mid F \cap H^c) = 0.20\] \[P(ECV \mid F^c \cap H) = 0.18\] \[P(ECV \mid F^c \cap H^c) = 0.05\]

Visualización del riesgo cardiovascular

Ejemplo 3: Tabla de Contingencia

En un estudio con 1000 pacientes se analiza la relación entre vacunación y gripe en un determinado mes:

Probabilidades condicionales

\[P(\text{Gripe} \mid \text{Vacunado}) = \frac{20}{500} = 0.04\]

\[P(\text{Gripe} \mid \text{No vacunado}) = \frac{80}{500} = 0.16\]

\[P(\text{Gripe}) = \frac{100}{1000} = 0.10\]

¿Son independientes vacunación y gripe?

Teorema de Probabilidad Total

Sea \(\{B_1, B_2, \ldots, B_k\}\) una partición de \(\Omega\) (eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos). Para cualquier evento \(A\):

\[\boxed{P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)}\]

Ilustración

Ejemplo 1: Complicaciones Post-Quirúrgicas

Una red hospitalaria atiende pacientes provenientes de tres clínicas con diferente nivel de complejidad:

Solución

\[P(A) = P(A\mid B_1)\,P(B_1) + P(A\mid B_2)\,P(B_2) + P(A\mid B_3)\,P(B_3)\]

Ejemplo 2: Rehabilitación Intensiva en Fisioterapia

Los pacientes de un servicio de fisioterapia provienen de tres fuentes de remisión:

• \(B_1\): Medicina General — \(P(B_1) = 0.60\)
• \(B_2\): Ortopedia — \(P(B_2) = 0.30\)
• \(B_3\): Neurología — \(P(B_3) = 0.10\)

La probabilidad de requerir rehabilitación intensiva (\(R\)) según la fuente:

\[P(R\mid B_1)=0.15, \quad P(R\mid B_2)=0.40, \quad P(R\mid B_3)=0.70\]

¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar requiera de rehabilitación intensiva?

::: {.fragment}

\[P(R) = (0.15)(0.60)+(0.40)(0.30)+(0.70)(0.10)\] \[P(R) = 0.09+0.12+0.07 = \boxed{0.28}\]

El 28% de los pacientes del servicio requieren rehabilitación intensiva.

:::

Diagrama de árbol

Los diagramas de árbol son una herramienta visual que permiten organizar y calcular probabilidades con el Teorema de Probabilidad Total.

Teorema de Bayes

Sea \(\{B_1, B_2, \ldots, B_k\}\) una partición de \(\Omega\) con \(P(B_i) > 0\). Para cualquier evento \(A\) con \(P(A) > 0\):

\[\boxed{P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i)\cdot P(B_i)}{P(A)} = \frac{P(A \mid B_i)\cdot P(B_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{k} P(A \mid B_j)\cdot P(B_j)}}\]

Ejemplo 1: ¿De qué clínica proviene el paciente?

Retomando el ejemplo de complicaciones post-quirúrgicas:

\[P(B_1)=0.40 \quad P(B_2)=0.35 \quad P(B_3)=0.25\] \[P(A\mid B_1)=0.05 \quad P(A\mid B_2)=0.10 \quad P(A\mid B_3)=0.20\] \[P(A) = 0.105\]

Pregunta: Si un paciente presentó complicaciones, ¿cuál es la probabilidad de que proveniera de la Clínica C?

Solución con Teorema de Bayes

\[P(B_3 \mid A) = \frac{P(A\mid B_3)\cdot P(B_3)}{P(A)} = \frac{(0.20)(0.25)}{0.105} = \frac{0.050}{0.105} \approx \boxed{0.476}\]

Ejemplo 2: Valor Predictivo Positivo

Una prueba diagnóstica para tuberculosis (TB) tiene las siguientes características:

¿Cuál es la probabilidad de tener TB dado un resultado positivo? (Valor Predictivo Positivo — VPP)

Solución paso a paso

La paradoja del falso positivo

Implicación clínica

¿Qué sucede si aumenta la prevalencia?

Con Bayes se actualiza la probabilidad de enfermedad con base en los resultados de las pruebas.