Contenido

1. Descripción del método
2. Fundamentos matemáticos
3. Construcción de las componentes
4. Guías para la interpretación
5. Ejemplo 1: Compresión de imágenes
6. Ejemplo 2: Rankings universitarios latinoamericanos
7. Ejemplo 3: Calidad de vida — ECV DANE
8. Variables y objetos suplementarios
9. Laboratorio

Dos enfoques de las componentes principales

Dos enfoques de las componentes principales

Dos enfoques de las componentes principales

Hotelling (1933) mostró que las cargas de los componentes principales son los eigenvectores de la matriz de covarianza muestral.

Dos enfoques de las componentes principales

Enfoque de Hotelling (1933) vs Pearson (1901)

Descripción del método

El Análisis de Componentes Principales (ACP) produce combinaciones lineales de las variables originales, denominadas:

componentes principales, factores o dimensiones

• Reducción de dimensiones: representar \(p\) variables en \(q \ll p\) componentes con mínima pérdida de información.
• Visualización de tablas: proyectar objetos y variables sobre planos factoriales interpretables.
• Análisis y comprensión: identificar la estructura de correlaciones entre variables.
• Imputación de datos faltantes: usar las componentes como base para imputar.
• Predictores para regresión: solución a la multicolinealidad entre covariables.

Utilidad del ACP

El ACP es la base de los métodos factoriales más importantes:

• ACS – Análisis de Correspondencias Simples: tablas de contingencia entre dos variables cualitativas.
• ACM – Análisis de Correspondencias Múltiples: tablas de individuos × variables cualitativas.
• AFMG – Análisis Factorial Múltiple Generalizado: tablas de individuos × bloques de variables.
• STATIS: tablas de tres índices (individuos × variables × condiciones).
• Agrupamiento jerárquico: el ACP es el preprocesamiento más común antes de clusterizar.

Matriz de datos centrados, estandarizados y normados

Partiendo de la matriz de datos centrada y estandarizada \(\widetilde{Y}\) (con denominador \(\sqrt{n}\)), se define:

\[Y = \frac{1}{\sqrt{n}}\,\widetilde{Y} = \frac{1}{\sqrt{n}}\,\widetilde{X}\,D^{-1/2}\]

donde \(D = \text{diag}(s_1, \ldots, s_p)\) contiene las desviaciones estándar.

Aplicación del TDVS

Aplicando el Teorema de Descomposición en Valores Singulares a \(Y\):

\[Y_{n \times p} = U_{n \times p}\; L_{p \times p}\; V_{p \times p}^\prime\]

donde:

Matriz de componentes principales

La matriz de scores (coordenadas de los objetos sobre las componentes) se obtiene como:

\[Z = Y\,V\]

Propiedades de las componentes principales

Las columnas de \(Z = YV\) satisfacen:

1. Media cero: \[\frac{1}{n}Z^\prime\mathbf{1}_n = \frac{1}{n}V^\prime Y^\prime \mathbf{1}_n = V^\prime \text{med}(Y) = \mathbf{0}\]

2. Incorrelacionadas: \[Z^\prime Z = V^\prime Y^\prime Y V = V^\prime R\, V = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_p)\]

Análisis para los objetos

El objeto \(i\) queda representado en el plano factorial por el vector de coordenadas:

\[z_{i\cdot} = \left(z_{i1}, \ldots, z_{i\alpha}, \ldots, z_{ip}\right)\]

La varianza de la \(\alpha\)-ésima componente en el conjunto de \(n\) objetos es:

\[\text{var}(Z_\alpha) = v_\alpha^\prime Y^\prime Y\, v_\alpha = v_\alpha^\prime R v_\alpha = \lambda_\alpha v_\alpha^\prime v_\alpha = \lambda_\alpha \]

Análisis para las variables

De \(Y = ULV^\prime\) se obtiene \(Y^\prime = VLU^\prime\). Proyectando las variables sobre el espacio de objetos:

\[W = Y^\prime U = VL\]

La \(\alpha\)-ésima componente es \(w_\alpha = Y^\prime u_\alpha\) y la coordenada de la variable \(j\) sobre la componente \(\alpha\):

\[w_{j\alpha} = \sum_{i=1}^n u_{i\alpha}\, y_{ij}\]

Proporción de varianza explicada

La varianza total de los datos estandarizados es \(\text{tr}(R) = p\).

La proporción de varianza capturada por las primeras \(q\) componentes es:

\[\tau_q = \frac{\sum_{\alpha=1}^q \lambda_\alpha}{\sum_{\alpha=1}^p \lambda_\alpha} = \frac{\sum_{\alpha=1}^q \lambda_\alpha}{p}\]

Ecuaciones de transición (I)

Los vectores propios de \(Y^\prime Y\) y \(YY^\prime\) comparten los valores propios.

Sea \(v_\alpha\) vector propio de \(R = Y^\prime Y\) con valor propio \(\lambda_\alpha\):

\[Y^\prime Y\, v_\alpha = \lambda_\alpha\, v_\alpha\]

Multiplicando por \(Y\) a la izquierda:

\[Y Y^\prime (Y v_\alpha) = \lambda_\alpha (Y v_\alpha)\]

Ecuaciones de transición (II)

La norma de \(Yv_\alpha\) es:

\[\|Yv_\alpha\| = \sqrt{v_\alpha^\prime Y^\prime Y v_\alpha} = \sqrt{\lambda_\alpha}\]

Por tanto, el vector normalizado en el espacio de objetos es:

\[u_\alpha = \frac{1}{\sqrt{\lambda_\alpha}}\,Y v_\alpha\]

Y recíprocamente:

\[v_\alpha = \frac{1}{\sqrt{\lambda_\alpha}}\,Y^\prime u_\alpha\]

Ecuaciones de transición (III)

Sustituyendo \(v_\alpha = \frac{1}{\sqrt{\lambda_\alpha}} Y^\prime u_\alpha\) en \(z_\alpha = Yv_\alpha\):

\[z_\alpha = Y v_\alpha = \frac{1}{\sqrt{\lambda_\alpha}}\,YY^\prime u_\alpha = \frac{\lambda_\alpha}{\sqrt{\lambda_\alpha}}\,u_\alpha = \sqrt{\lambda_\alpha}\,u_\alpha\]

Método de multiplicadores de Lagrange

El primer vector de cargas \(v_1\) es la solución del problema de optimización:

\[\max_{v_1} \quad v_1^\prime R\, v_1 \qquad \text{sujeto a} \quad v_1^\prime v_1 = 1\]

El Lagrangiano del problema es:

\[\mathcal{L} = v_1^\prime R\, v_1 - \lambda_1(v_1^\prime v_1 - 1)\]

Derivando e igualando a cero:

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_1} = 2R\,v_1 - 2\lambda_1 v_1 = 0 \implies R\,v_1 = \lambda_1\,v_1\]

Cálculo de las componentes principales

Ordenando los valores propios de \(R\) de mayor a menor: \(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots \ge \lambda_p \ge 0\), la \(\alpha\)-ésima componente principal es:

\[Z_\alpha = Y\, v_\alpha = \frac{1}{\sqrt{n}}\; \widetilde{Y}\, v_\alpha\]

con varianza \(\text{var}(Z_\alpha) = \lambda_\alpha\).

Calidad de la representación global

La calidad de representación de un conjunto de \(q\) componentes mide qué fracción de la varianza total captura la aproximación de rango \(q\):

\[\tau_q = \frac{\sum_{\alpha=1}^q \lambda_\alpha}{p}\]

Tres criterios para la interpretación de los factores

Interpretación de los factores

La correlación entre la variable \(X_j\) y la componente \(Z_\alpha\) es:

\[r(X_j, Z_\alpha) = \sqrt{\lambda_\alpha}\; v_{j\alpha}\]

Interpretación de los factores

La contribución de la variable \(j\) a la componente \(\alpha\) mide qué fracción de \(\lambda_\alpha\) aporta esa variable:

\[\text{CTR}(j, \alpha) = \frac{v_{j\alpha}^2}{\sum_{k=1}^p v_{k\alpha}^2} = v_{j\alpha}^2\]

ya que \(v_\alpha^\prime v_\alpha = 1\)

Para los objetos, la contribución del objeto \(i\) a la componente \(\alpha\) es:

\[\text{CTR}(i, \alpha) = \frac{z_{i\alpha}^2}{\sum_{i^\prime=1}^n z_{i^\prime\alpha}^2} = \frac{z_{i\alpha}^2}{\lambda_\alpha}\]

Interpretación de los factores

Los cosenos cuadrados (\(\cos^2\)) miden la calidad de la representación de un objeto o variable en un plano factorial:

Para las variables: \[\cos^2(\theta_{j,\alpha}) = \lambda_\alpha\, v_{j\alpha}^2 = r^2(X_j, Z_\alpha)\]

Para los objetos: \[\cos^2(i, \alpha) = \frac{z_{i\alpha}^2}{\sum_{\beta=1}^p z_{i\beta}^2} = \frac{z_{i\alpha}^2}{\left\lVert z_i\right\rVert^2}\]

Ilustración contribuciones y cosenos cuadrados

Planos factoriales y distancias entre variables

Las variables se representan en el plano factorial como vectores desde el origen. La distancia entre dos variables en el espacio de \(q\) componentes es:

\[d^2(X_j, X_{j^\prime}) = 2\left(1 - \cos\theta_{jj^\prime}\right)\]

donde \(\theta_{jj^\prime}\) es el ángulo entre sus vectores en el plano.

Planos factoriales y distancias entre variables

Tipificación de los objetos

Para interpretar los objetos en el plano factorial se utilizan:

• Coordenadas (\(z_{i\alpha}\)): posición del objeto sobre cada componente. Objetos con coordenadas similares tienen perfiles similares.
• Contribuciones (CTR): objetos con CTR alta “definen” la componente.
• Cosenos cuadrados: mide si el objeto está bien representado en el plano.
• Cuadrantes opuestos: objetos en cuadrantes opuestos tienen perfiles antípodas.
• Distancia al origen: objetos lejos del origen tienen perfiles distintos al perfil medio.

Tipificación de los objetos

Tipificación de los objetos

Biplots: relaciones objeto-variable

El biplot representa simultáneamente objetos y variables en el mismo plano factorial.

• Los objetos aparecen como puntos.
• Las variables aparecen como vectores o flechas desde el origen.
• Un objeto cercano al extremo de una variable tiene un valor alto en esa variable.
• Un objeto opuesto al extremo de una variable tiene un valor bajo en ella.
• Variables con flechas en la misma dirección están correlacionadas positivamente.

Factor tamaño y variables suplementarias

Factor tamaño: Cuando la primera componente está correlacionada con todas las variables, se interpreta como un indicador de “tamaño” o “nivel general”. Las componentes posteriores capturan contrastes (forma, estructura).

PCA(datos, quanti.sup = c(3, 5))   # columnas 3 y 5 como suplementarias

PCA(datos, ind.sup = c(1, 4, 7))   # filas 1, 4 y 7 como ilustrativas

Descripción de los datos

Se dispone de tres rankings internacionales para universidades latinoamericanas:

Carga de los datos

library(pacman)
p_load(tidyverse, FactoMineR, factoextra, janitor, corrplot)

url <- "https://github.com/jgbabativam/Curso_Multivariado/raw/main/Datos/"
rank_lat <- read.csv2(paste0(url, "r14_Sci_Qs_Webometrics.csv"))

Preparación de los datos

Se analizan los promedios por país: columnas 2 (país) y 3-5 (rankings numéricos)

rank <- rank_lat |> 
        select(Pais, SC.Lac.Ranking, QS.Ranking, WEB.Ranking.LA) |> 
        group_by(Pais) |> 
        summarise(across(where(is.numeric), ~mean(., na.rm = T))) |>
        column_to_rownames("Pais") |> 
        mutate(across(where(is.numeric), ~.*-1)) #Invertir escala 
         
names(rank) <- c("SC_Lac", "QS", "WEB")

Valores propios y varianza explicada

pca_rank <- PCA(rank, graph = FALSE)

fviz_eig(pca_rank, addlabels = TRUE, ylim = c(0, 100), barfill = "#0077b6", barcolor = "#0077b6", linecolor = "#C0392B") +
  labs(title = "Gráfico de sedimentación — Rankings latinoamericanos",
       x = "Componente", y = "% varianza explicada") + theme_bw()

Plano 1-2 de variables

fviz_pca_var(pca_rank, col.var = "contrib",
             gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
             repel = TRUE, title = "Plano 1-2 — Variables (rankings)") + theme_bw()

Indicadores básicos — Variables

res_var <- pca_rank$var
cat("=== Coordenadas (cargas × √λ) ===\n")

=== Coordenadas (cargas × √λ) ===

round(res_var$coord, 3)

       Dim.1  Dim.2  Dim.3
SC_Lac 0.953 -0.167 -0.251
QS     0.771  0.634  0.058
WEB    0.906 -0.364  0.215

cat("\n=== Contribuciones (%) ===\n")

=== Contribuciones (%) ===

round(res_var$contrib, 2)

       Dim.1 Dim.2 Dim.3
SC_Lac 39.11  4.94 55.95
QS     25.57 71.49  2.94
WEB    35.32 23.57 41.11

cat("\n=== Cosenos cuadrados ===\n")

=== Cosenos cuadrados ===

round(res_var$cos2, 3)

       Dim.1 Dim.2 Dim.3
SC_Lac 0.909 0.028 0.063
QS     0.594 0.402 0.003
WEB    0.821 0.133 0.046

Tipificación de los países

fviz_pca_ind(pca_rank, col.ind = "cos2",
             gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE, 
             title = "Plano 1-2 — Países (rankings universitarios)") + theme_bw()

Biplot: países y rankings

fviz_pca_biplot(pca_rank, repel = TRUE,
                col.var = "#C0392B", col.ind = "#0077b6",
                title = "Biplot — Rankings universitarios latinoamericanos") + theme_bw()

Análisis complementario

Número de instituciones por país:

n_inst <- rank_lat |>
          select(Pais, SC.Lac.Ranking, QS.Ranking, WEB.Ranking.LA) |> 
          count(Pais, name = "nInst") 

n_inst[n_inst$nInst == 1,] ## Paises con una sola institución

   Pais nInst
2   BOL     1
7   CUB     1
12  PRI     1
13   PY     1

Objetos suplementarios: países con una sola universidad

Los países con una sola institución en los rankings (Bolivia, Cuba, Puerto Rico, Paraguay) son atípicos respecto a los demás. Se incluyen como objetos ilustrativos:

# Bolivia=2, Cuba=7, Puerto Rico=12, Paraguay=13
pca_supl <- PCA(rank, ind.sup = c(2, 7, 12, 13), graph = FALSE)
fviz_pca_biplot(pca_supl, repel = TRUE, col.var  = "#C0392B", col.ind  = "#0077b6", col.ind.sup = "#8E44AD",
                title = "Biplot con países ilustrativos (en morado)") + theme_bw()

Encuesta Nacional de Calidad de Vida

La ECV es el principal instrumento del DANE para medir las condiciones de vida de los hogares colombianos. Se realiza anualmente con cobertura nacional y departamental.

Carga de los datos

library(pacman)
p_load(tidyverse, janitor, corrplot)

url <- "https://github.com/jgbabativam/Curso_Multivariado/raw/main/Datos/"
ecv <- read.csv(paste0(url, "ecv_departamentos_2022.csv"), header = TRUE) |> 
       column_to_rownames("departamento") |> 
       rename(inv_hacinamiento = sin_hacinamiento,
              inv_ipm = sin_ipm, leen_adultos = lit_adultos)

Exploración de la matriz de correlaciones

R_ecv <- cor(ecv)
corrplot(R_ecv, method  = "color", type    = "upper", order   = "hclust", 
         col = colorRampPalette(c("#2b8cbe", "white", "#d7301f"))(200),  diag = FALSE,
         tl.cex  = 0.65, tl.col  = "black", addCoef.col = "black", number.cex  = 0.45, mar = c(0, 0, 1.5, 0))

Análisis de componentes principales

pca_ecv <- PCA(ecv, graph = FALSE,
               scale.unit = TRUE,   # estandariza automáticamente
               ncp        = 5)      # retener 5 componentes

# Tabla de valores propios
eig_ecv <- get_eigenvalue(pca_ecv)
round(eig_ecv, 3)

       eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
Dim.1      13.889           92.595                      92.595
Dim.2       0.806            5.371                      97.967
Dim.3       0.103            0.688                      98.655
Dim.4       0.069            0.458                      99.113
Dim.5       0.055            0.364                      99.477
Dim.6       0.032            0.213                      99.691
Dim.7       0.027            0.183                      99.874
Dim.8       0.008            0.052                      99.925
Dim.9       0.005            0.034                      99.959
Dim.10      0.002            0.013                      99.972
Dim.11      0.002            0.011                      99.983
Dim.12      0.002            0.010                      99.993
Dim.13      0.001            0.003                      99.997
Dim.14      0.000            0.002                      99.998
Dim.15      0.000            0.002                     100.000

Varianza explicada — Gráfico de sedimentación

fviz_eig(pca_ecv, addlabels  = TRUE, ncp = 10) +
  labs(title = "Gráfico de sedimentación — Calidad de vida ECV 2022",
       x = "Componente", y = "% varianza explicada") + theme_bw()

Plano de variables: tres criterios de interpretación

fviz_pca_var(pca_ecv, col.var = pca_ecv$var$coord[, 1], repel = TRUE,
             gradient.cols = c("#D6EAF8", "#2980B9", "#1A5276"),
             title = "Plano 1-2 — coloreado por correlación con Dim 1") + theme_bw()

fviz_pca_var(pca_ecv, col.var = "contrib", repel = TRUE,
             gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
             title = "Plano 1-2 — coloreado por contribución") + theme_bw()

fviz_pca_var(pca_ecv, col.var = "cos2", repel = TRUE,
             gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
             title = "Plano 1-2 — coloreado por cos²") + theme_bw()

Contribuciones de los indicadores

fviz_contrib(pca_ecv, choice = "var", axes = 1,
             fill = "#0077b6", color = "#0077b6",
             title = "Contribuciones a la Dim 1") +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 90, vjust = 0.5, hjust = 1)) 

fviz_contrib(pca_ecv, choice = "var", axes = 2,
             fill = "#C0392B", color = "#C0392B",
             title = "Contribuciones a la Dim 2") +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 90, vjust = 0.5, hjust = 1)) 

Plano de individuos (departamentos)

fviz_pca_ind(pca_ecv, col.ind   = "cos2", repel = TRUE, labelsize = 3.5,
             gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
             title     = "Plano 1-2 — Departamentos de Colombia") + theme_bw()

Biplot: departamentos e indicadores

fviz_pca_biplot(pca_ecv, repel = TRUE, labelsize = 3.5,
                col.var   = "#C0392B", col.ind   = "#0077b6",
                title     = "Biplot — Calidad de vida ECV 2022") + theme_bw()

Interpretación de las componentes — plano 1-2

Ejemplo ARWU: variables activas vs. ilustrativas

Los rankings construidos con ponderaciones predefinidas (ARWU World Rank, Regional Rank, National Rank) pueden usarse como variables ilustrativas para validar si las componentes capturan los mismos patrones.

arwu <- read.csv2(paste0(url, "ARWU_100_top.csv")) |> clean_names()
rownames(arwu) <- make.unique(as.character(arwu$institution))

# Invertir rankings: mayor = mejor posición
arwu <- arwu |>
  mutate(across(c(world_rank, national_rank, regional_rank), ~ -.))

# Variables activas: seis criterios académicos
vars_act <- c("alumni", "award", "hi_ci", "n_s", "pub", "pcp")
# Variables ilustrativas: tres rankings y puntaje total
vars_sup <- c("world_rank", "national_rank", "regional_rank", "total_score")

arwu_pca_data <- arwu |> select(all_of(c(vars_sup, vars_act)))

pca_arwu <- PCA(arwu_pca_data,
                quanti.sup = 1:length(vars_sup),
                graph      = FALSE)

Plano de variables: criterios activos vs. ilustrativos

plot.PCA(pca_arwu, choix = "var",
         title = "ARWU — Variables activas (negro) y suplementarias (azul)")

Objetos suplementarios: universidades del rango 51-100

Las 50 universidades de menor rango se proyectan como objetos ilustrativos sobre el plano construido solo con el Top-50 del ARWU:

# Top 50 como activos; universidades 51-100 como ilustrativas
arwu_pca_supl <- PCA(arwu_pca_data,
                     quanti.sup = 1:length(vars_sup),
                     ind.sup    = 51:100,
                     graph      = FALSE)

fviz_pca_biplot(arwu_pca_supl,
                repel        = TRUE,
                col.var      = "#C0392B",
                col.ind      = "#0077b6",
                col.ind.sup  = "#8E44AD",
                label        = "var",
                title = "ARWU — Top 50 (azul) y objetos ilustrativos 51-100 (morado)") +
  theme_bw()

Objetos suplementarios: universidades del rango 51-100

Las 50 universidades de menor rango se proyectan como objetos ilustrativos sobre el plano construido solo con el Top-50 del ARWU:

¿Qué es un píxel?

El tensor RGB

ACP aplicado a datos visuales

Una imagen digital en color es un arreglo tridimensional de dimensiones \(n \times m \times 3\):

• \(n\): número de filas de píxeles (altura)
• \(m\): número de columnas de píxeles (ancho)
• \(3\): canales de color R, G, B

ACP aplicado a datos visuales

Cada canal es una matriz de intensidades en \([0,1]\). Si aplicamos ACP a cada canal por separado:

\[\text{Canal}_k = U_k\, L_k\, V_k^\prime, \quad k \in \{R, G, B\}\]

La reconstrucción usando solo las primeras \(q\) componentes es:

\[\widehat{\text{Canal}}_k^{(q)} = U_k^{(q)}\, L_k^{(q)}\, \left(V_k^{(q)}\right)^\prime\]

donde \(U_k^{(q)}\) y \(V_k^{(q)}\) son las primeras \(q\) columnas de \(U_k\) y \(V_k\).

Monte Rushmore

library(pacman)
p_load(jpeg, tidyverse)

url_img <- "https://raw.githubusercontent.com/jgbabativam/Curso_Multivariado/main/images/rushmore.jpg"

tmp <- tempfile(fileext = ".jpg")
download.file(url_img, tmp, mode = "wb")

imagen <- readJPEG(tmp)

cat("Dimensiones:", paste(dim(imagen), collapse = " × "), "\n")

Dimensiones: 853 × 1280 × 3 

cat("Filas (alto):", nrow(imagen), "| Columnas (ancho):", ncol(imagen), "| Canales RGB:", dim(imagen)[3])

Filas (alto): 853 | Columnas (ancho): 1280 | Canales RGB: 3

PCA aplicado a cada canal RGB

img <- imagen[seq(1, nrow(imagen), 3),
              seq(1, ncol(imagen), 3), ]

# ACP por canal (sin centrado: preserva la escala de intensidades)
pca_r <- prcomp(img[,,1], center = FALSE)
pca_g <- prcomp(img[,,2], center = FALSE)
pca_b <- prcomp(img[,,3], center = FALSE)

# Creo la lista con los PCA del RGB.
pca_imagen <- list(pca_r, pca_g, pca_b)

# Matriz Reconstruida
reconstruir <- function(pca_ls, n_comp) {
  sapply(pca_ls, function(p) {
    rec <- p$x[, 1:n_comp] %*% t(p$rotation[, 1:n_comp])
    pmax(0, pmin(1, rec))          
  }, simplify = "array")
}

## Generar Imágenes
getwd()
for (i in seq.int(3, round(nrow(imagen) - 700), length.out = 10)) {
  pca.img <- sapply(pca_imagen, function(j) {
    compressed.img <- j$x[,1:i] %*% t(j$rotation[,1:i])
  }, simplify = 'array')
  writeJPEG(pca.img, paste('imagen_con_', round(i,0), '_componentes.jpg', sep = ''))
}

Varianza explicada acumulada en los tres canales

Reconstrucción progresiva con pocas componentes

Laboratorio Ciudades

Para ver este laboratorio de clic sobre este enlace:

Laboratorio ACP

Índice de Probreza Multidimensional - IPM

Asignación por grupos

Cada grupo trabajará con una semilla distinta y con 3 dimensiones del IPM diferentes.

Laboratorio (1/5)

Usando los datos a nivel de hogares del IPM de la Encuesta Nacional de Calidad de Vida (ECV 2025) disponibles en el portal de microdatos del DANE:

DANE Microdatos ECV 2025

Cada grupo debe usar el siguiente código como referencia para generar el conjunto de datos que va a trabajar. Los códigos deben ser entregados.

Laboratorio (2/5)

Selección de la muestra de 30.000 hogares.

library(pacman)
p_load(tidyverse, sampling, haven)

ipm <- read_sav("IPM2025.sav")
n_total <- 30000 # Tamaño muestra

# Tamaños por estrato (afijación proporcional)
tam_estrato <- ipm |> 
               count(DEPARTAMENTO) |> 
               mutate(nh = round(n / sum(n) * n_total))

# Diseño estratificado
set.seed(semilla)
muestra <- strata(data = ipm,
                  stratanames = "DEPARTAMENTO",
                  size = tam_estrato$nh,
                  method = "srswor")

df_ipm <- getdata(ipm, muestra)

Laboratorio (3/5)

1. Calcules los indicadores de las variables del IPM de las dimensiones que le correspondió a nivel de departamento, incluyendo el promedio del IPM y el porcentaje de hogares en condición de pobreza multidimensional.

2. Calcule la matriz de correlaciones entre los indicadores seleccionados.

3. Aplique el ACP usando PCA() de FactoMineR:

• scale.unit = TRUE
• scale.unit = FALSE

¿Cambian los resultados? ¿Por qué?

4. ¿Cuántas componentes retiene cada uno de los tres criterios presentados? Justifique cuál le parece más adecuado para este conjunto de datos.

Laboratorio (4/5)

5. Construya el plano 1-2 de variables con fviz_pca_var(). Identifique:

• Las dos variables peor representadas a la Dimensión 1.
• Las dos variables con la peor contribución a la Dimensión 2.

6. Construya el plano de individuos con fviz_pca_ind() coloreando por \(cos^2\) y otro por \(contrib\). Identifique:

• El departamento con mejor calidad de vida general usando el criterio de correlación.
• El departamento peor representado en el plano 1-2 usando el criterio de los cosenos cuadrados.
• Dos departamentos con perfiles similares (use la distancia entre variables sobre el plano).
• Dos departamentos con perfiles opuestos (use la distancia entre variables sobre el plano).

Laboratorio (5/5)

7. Genere el biplot e interprete qué variable(s) caracterizan al departamento que quedó en el extremo derecho del eje 1.

8. Agregue las variables IPM y porcentaje de hogares en condición de pobreza (sin transformar) como variables suplementarias usando quanti.sup. ¿Cómo se ubica en el plano de variables? ¿Qué componente captura mejor la pobreza multidimensional?

9. Repita el ACP con los indicadores de una de las dimensiones como variables suplementarias. ¿Cambia la interpretación de las componentes?